Что мы можем узнать о четвёртом измерении, изучая геометрические отношения внутри нашего пространства? Каким должно быть отношение трёхмерного тела к четырёхмерному? Четырёхмерное тело, как след от движения трёхмерного тела по направлению, в нём не заключающемуся. Четырёхмерное тело, как состоящее из бесконечного количества тел трёхмерных. Трёхмерное тело, как разрез четырёхмерного. Части тел и целые тела в трёх и в четырёх измерениях. Несоизмеримость трёхмерного и четырёхмерного тела. Материальный атом, как разрез линии четвёртого измерения.
В другой своей книге «The Fourth Dimension» («Четвёртое измерение») Хинтон делает интересное замечание относительно способа, при помощи которого мы можем подойти к вопросу о высших измерениях.
Он говорит так:
Наше пространство несёт в себе самом отношения, которые позволяют нам определить отношения известного нам пространства к высшему.
Мы знаем в пространстве отношения точки к линии, линии к поверхности, поверхности к телу. Такого же рода должно быть отношение трёхмерного пространства к высшему.
Действительно, если мы остановимся на этой мысли и рассмотрим глубокое различие между точкой и линией, между линией и поверхностью, между поверхностью и телом, — мы поймём, как много нового и непонятного для нас должно лежать в четвёртом измерении.
Как в точке невозможно представить себе линию и законы линии, как в линии нельзя представить себе поверхность и законы поверхности, как в поверхности нельзя представить тело и понять законы тела, так и в нашем пространстве нельзя представить себе тела, имеющего больше трёх измерений, и нельзя понять законов существования этого тела.
Но, изучая взаимные отношения точки, линии, поверхности и тела, мы начинаем узнавать что-то и о четвёртом измерении, т.е. о пространстве четырёх измерений. Начинаем узнавать, чем оно может быть в сравнении с нашим трёхмерным пространством, и чем не может быть.
Последнее мы узнаём прежде всего. И это особенно важно, потому что избавляет нас от множества глубоко укоренившихся иллюзий, очень вредных для правильного познания.
Мы узнаём, чего не может быть в пространстве четырёх измерений, и это позволяет нам установить, что там может быть.
Попробуем рассмотреть эти отношения внутри нашего пространства и посмотрим, какие же заключения мы можем сделать на основании их изучения.
Мы знаем, что наша геометрия рассматривает линию, как след от движения точки, поверхность, как след от движения линии, и тело, как след от движения поверхности. На основании этого мы задаём себе вопрос: а нельзя ли рассматривать «тело четырёх измерений», как след от движения тела трёх измерений?
И если можно, то что же это за движение, и по какому оно осуществляется направлению?
Точка, двигаясь в пространстве и оставляя след своего движения в виде линии, движется по направлению, в ней не заключающемуся, потому что в точке нет никакого направления.
Линия, двигаясь в пространстве, и оставляя след своего движения в виде поверхности, движется по направлению, в ней не заключающемуся, потому что, двигаясь по направлению, заключающемуся в ней, линия всегда останется только линией.
Поверхность, двигаясь в пространстве и оставляя след своего движения в виде тела, тоже движется по направлению, в ней не заключающемуся. Если она будет двигаться по одному из направлений, заключающихся в ней, то она всегда останется лишь поверхностью. Чтобы оставить след своего движения в виде тела или трёхмерной фигуры, она должна отойти сама от себя, двигаться по тому направлению, которого нет в ней самой.
По аналогии со всем этим и тело для того, чтобы оставить след своего движения в виде четырёхмерной фигуры, должно двигаться по направлению, в нём не заключающемуся; иначе говоря, тело должно выйти само из себя, отойти от себя. Дальше будет установлено, как именно мы это должны понимать.
Пока мы можем сказать, что направление движения по четвёртому измерению лежит вне всех тех направлений, которые возможны в трёхмерной фигуре.
Мы рассматриваем линию, как бесконечное число точек; поверхность, как бесконечное число линий; тело, как бесконечное число поверхностей.
По аналогии с этим можно предположить, что тело четырёх измерений следует рассматривать, как бесконечное число тел трёх измерений, а пространство четырёх измерений, как бесконечное число трёхмерных пространств.
Затем мы знаем, что линия ограничена точками, поверхность ограничена линиями, а тело ограничено поверхностями.
Возможно, что пространство четырёх измерений ограничено телами трёх измерений.
Или можно сказать, что линия есть расстояние между точками, поверхность — расстояние между линиями, тело — расстояние между поверхностями.
Или так, что линия отделяет одну от другой две или несколько точек (Прямая линия – кратчайшее расстояние между двумя точками); поверхность отделяет одну от другой две или несколько линий; тело отделяет одну от другой несколько поверхностей: — так куб отделяет одну от другой шесть плоских поверхностей, которые мы называем его сторонами.
При этом линия связывает несколько отдельных точек в нечто целое (прямая, кривая, ломаная); поверхность связывает несколько линий в нечто целое (квадрат, треугольник); тело связывает несколько поверхностей в нечто целое (куб, пирамида).
Возможно, что пространство четырёх измерений есть расстояние между рядом тел, отделяющее эти тела одно от другого — и в то же время связывающее в какое-то непонятное нам целое тела, которые кажутся нам отдельными.
Затем — точку мы рассматриваем, как разрез линии; линию как разрез поверхности; поверхность, как разрез тела.
По аналогии с этим трёхмерное тело (куб, шар, пирамиду), вероятно, можно рассматривать, как разрез тела четырёх измерений, а всё трёхмерное пространство, как разрез четырёхмерного.
Если всякое трёхмерное тело есть разрез четырёхмерного, то всякая точка трёхмерного тела является разрезом линии четвёртого измерения. «Атом» физического тела можно рассматривать не как нечто материальное, а как пересечение плоскостью нашего сознания линии четвёртого измерения.
Взгляд на трёхмерное тело, как на разрез четырёхмерного, приводит к мысли, что многие отдельные для нас трёхмерные тела могут быть разрезами частей одного четырёхмерного тела.
Простой пример пояснит эту мысль: Если мы представим себе горизонтальную плоскость, пересекающую вершину дерева параллельно земле, то на этой плоскости разрезы ветвей покажутся отдельными и совершенно несвязанными друг с другом. Между тем в нашем пространстве, с нашей точки зрения, это разрезы ветвей одного дерева, составляющих вместе одну вершину, питающихся от одного корня, дающих одну тень.
Или ещё интересный пример, показывающий ту же мысль, приводимый Лэдбитером в одном из его сочинений: Если мы прикоснёмся к поверхности стола кончиками пяти пальцев одной руки, то на поверхности стола будут только пять кружков, и на этой поверхности нельзя составить никакой идеи о руке и о человеке, которому принадлежит эта рука. На поверхности стола будут пять отдельных кружков. Как представить себе по ним человека, со всем богатством его физической и духовной жизни? Это невозможно. Наше отношение к миру четырёх измерений может быть именно таково, как отношение к человеку того сознания, которое видит пять кружков на столе. Мы видим только «кончики пальцев», поэтому для нас и непостижимо четвёртое измерение.
Затем мы знаем, что на плоскости можно изобразить трёхмерное тело, можно нарисовать куб, многогранник, шар. Это не будет настоящий куб или настоящий шар, а только проекция куба или шара на плоскости. Может быть, мы имеем право думать, что трёхмерные тела нашего пространства являются как бы изображениями в нашей сфере непостижимых для нас четырёхмерных тел.